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数学講師の数学研究室
現役数学講師による「生徒を感動させて、数学好きにさせる」ような数学指導方法を研究するブログです。
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この極限はど~なるの??
極限はそれ自体も問題になりますし、またグラフを
描く際にも調べる必要が生じます。実数解の個数を
グラフの交点から求める場合などには極限値を
間違うと個数が違ってくるので、きちんと判断しないと
いけません。
0×∞、∞÷∞、0÷0と言ったいわゆる不定形は
式変形により極限が判断できる形にすることになりますが、
今回はそれらではなく、極限をとったときに
 (0でない定数)÷0
の形になるものについて考えてみます。

まずは分子の極限がa>0のときを考えます。
基本的には反比例:y=a/xのグラフを書いてもらうと
見えてくるのですが、x=0の付近ではy座標は無限に
大きくなっていきます。実際にxの値を
x=1/10、1/100、1/1000、・・・
としていくとyの値は
y=10a、100a、1000a、・・・
となって無限に大きくなるのがわかると思います。
ところが、このことから極限がa÷0の形に
なるものは+∞だとするのは早計です。
というのは、グラフのx<0の側を見ると、y座標は
無限に小さくなっていっているからです。「小さくなる」
というと0に近づくというイメージがあるかも知れませんが
そうではなく、「-∞に近づく」という意味です。
よって、実はxを0に近づけたときのa/xの
極限というのは
 「+と-のどちらからxを0に近づけるかに依存する」
ことになります。
従って、
「極限を考えたときの形がa÷0である」
というだけでは
「極限は+∞か-∞のどちらかだ」
ということまでしかわからず、あとは近づけ方でどちらかが
決定されるということになります。
これは分子の極限が-a<0のときにも同じであることが
y=-a/xのグラフを書けばわかります。

ちなみに、以上のことから「分数形の極限において分母が
0に近づく」と、「その数自体は+∞または-∞に
近づこうとする」とすること、すなわち「数直線上でその数は
原点から遠ざかろうとする」ことがわかると思います。
一方、「分子が0に近づく」と、「その数自体は0すなわち
原点に近づこうとする」ことがわかります。
これは相反する動きですので、0÷0という不定形はこの動きの
力の大小、つりあい具合(収束の速さと表現される)によって
様々な極限値になりえます。
                   文責まこっち
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

この記事に対するコメント
試行錯誤をするということ
なるほど。
「0÷0」の極限問題の解説の仕方、こういう風にもできるんですね。

自分も「 y = a / x 」は具体的に x に値を代入して、
どこに向かうかを調べるように指導しています。

生徒が自らの発想で問題を解けるようになるためには
「 x に値をいろいろ代入して調べる」という試行錯誤が絶対必要ですよね。

試行錯誤の結果、仮説(もしかしてこういう性質をもってるのかな?)
を立てられるようになって、実際に問題に当てはめて真偽を確かめる。

こればっかりは、学校や予備校の先生の黒板を写しているだけでは
絶対に身につかないものですから、しっかりと実践してほしいですね。
【2006/07/29 00:57】 URL | awanotanuki #- [ 編集]


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