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数学講師の数学研究室
現役数学講師による「生徒を感動させて、数学好きにさせる」ような数学指導方法を研究するブログです。
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この極限はど~なるの??
極限はそれ自体も問題になりますし、またグラフを
描く際にも調べる必要が生じます。実数解の個数を
グラフの交点から求める場合などには極限値を
間違うと個数が違ってくるので、きちんと判断しないと
いけません。
0×∞、∞÷∞、0÷0と言ったいわゆる不定形は
式変形により極限が判断できる形にすることになりますが、
今回はそれらではなく、極限をとったときに
 (0でない定数)÷0
の形になるものについて考えてみます。

まずは分子の極限がa>0のときを考えます。
基本的には反比例:y=a/xのグラフを書いてもらうと
見えてくるのですが、x=0の付近ではy座標は無限に
大きくなっていきます。実際にxの値を
x=1/10、1/100、1/1000、・・・
としていくとyの値は
y=10a、100a、1000a、・・・
となって無限に大きくなるのがわかると思います。
ところが、このことから極限がa÷0の形に
なるものは+∞だとするのは早計です。
というのは、グラフのx<0の側を見ると、y座標は
無限に小さくなっていっているからです。「小さくなる」
というと0に近づくというイメージがあるかも知れませんが
そうではなく、「-∞に近づく」という意味です。
よって、実はxを0に近づけたときのa/xの
極限というのは
 「+と-のどちらからxを0に近づけるかに依存する」
ことになります。
従って、
「極限を考えたときの形がa÷0である」
というだけでは
「極限は+∞か-∞のどちらかだ」
ということまでしかわからず、あとは近づけ方でどちらかが
決定されるということになります。
これは分子の極限が-a<0のときにも同じであることが
y=-a/xのグラフを書けばわかります。

ちなみに、以上のことから「分数形の極限において分母が
0に近づく」と、「その数自体は+∞または-∞に
近づこうとする」とすること、すなわち「数直線上でその数は
原点から遠ざかろうとする」ことがわかると思います。
一方、「分子が0に近づく」と、「その数自体は0すなわち
原点に近づこうとする」ことがわかります。
これは相反する動きですので、0÷0という不定形はこの動きの
力の大小、つりあい具合(収束の速さと表現される)によって
様々な極限値になりえます。
                   文責まこっち
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

あれ、なにするんだっけ??
問題を解くにあたって、「何をしたいのか」という
目的をきちんと把握しておくことは大切です。
証明であれば証明したいことがら、値を求めるなら
何の値なのか。
目的には最終目標といくつかの段階に分けた中間目標とがあり、
各段階ではそれに集中し、ほかは考えない。
たとえば、三角不等式を解くときには最終的には
角度を求めたいのではあるが、多くの場合
①まずはsinやcosの値の範囲
②次に角度の範囲(最終目標)
のようにやることになる。①はsin等をtとでもおけば
関数の不等式の問題(多くは一次・二次不等式)であり
②は単位円を用いる三角比の問題である。
いきなり角度を求めようとして混乱してる人を度々みかけます。
各段階では、その段階の目標に集中しましょう。
数学では問題の言い換えを行って解くことがよくありますが、
その場合も混乱し易いので、言い換えたらしばらくは元の
問題は忘れましょう。
                        文責まこっち

テーマ:算数・数学の学習 - ジャンル:学校・教育

数学の問題にたくさん文字があってどうしたらいいか分からない!
葉っぱの水滴

数学の問題を見て解法が思い浮かばないなんてことは誰でも経験したことがあると思う。

その解法が思い浮かばないにも色々原因は考えられるが、本日は「問題でたくさん文字が登場してどうしたらいいか分からない!」ということを題材にあげよう。

----------------------------------------------------------------
[例題]

底面の半径がR、高さがHの直円錐に、直円柱が内接している。
このとき直円柱の高さをh、底面の半径をrとするとき、hをrの式で表せ。
----------------------------------------------------------------

このような問題を見るときに注意してほしいのは、どの文字が「定数」で、どの文字が「変数」なのかということを意識することだ。

一般的に、数と式の分野(展開したり因数分解したりするところ)では
 「定数」= a , b
 「変数」= x , y
で与えられているので、気に留めずに進むことができたが、上記の例題のように、 x や y などがまったく登場しない場合は注意が必要だ。


ちなみに、上記の例題の場合は
 「定数」= R , H
 「変数」= r , h
である。


これら定数と変数については、個人的には「降べきの順」の箇所が最も意識して勉強しやすい部分だと思う。

つまり、xやyが複数登場する文字式の因数分解などを考える際に、全ての文字を平等に扱ってみるのではなく「xの降べきの順」などのように変形することで、「x」が主役の文字式であると認識することが大切だ。

ちなみに「y」は脇役、つまり定数のように扱うと強く意識すると、すっきりと問題が見渡せるようになるはずである。

数学もご他聞に漏れず、見方しだいでとても親しみやすい分野になってくれる。大切なのは、そして講師が指導すべきなのは「どのように見れば数学がわかるようになるのか」という箇所なのだと思う。

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

数学の基礎は計算にあり
大学受験における数学で高得点をとれるどうかの分かれ目は「どれだけ正確に計算できるか」にかかっているように思われる。

実際に生徒の答案用紙を見ていても、考え方は理解できているのに、途中の計算が間違えているがために、その後の計算が泥沼になってしまっているものがよくある。

しかしここで、生徒に「計算ミスに気をつけようね」と指導したところで、生徒の計算ミスが減るわけはない。指導においてはもっと具体的に指示してあげなければ、生徒は何も得られないのだ。

この計算ミスについては、私もなかなか「すげぇ!」とうなるような返答ができていないのが現状だが、とは言っても、計算が正確にこなせる人もいるわけなので、なにかキーワードがあるはずだ。それを考えてみたい。

まずは自分自身の実践してきた計算方法の特色を考えてみる。

・計算中は目の前の計算のことしか考えない。

(ともすれば、次に加える条件などを考えがちだが、複雑な計算をしているときは、計算結果が落ち着くまでは他の事を考えないようにしている。人間いっぺんにはこなせないのが持論。)

・複雑な計算になってきたら一度計算ミスをしていないか振り返る。

(たとえば「1277」などのような数字になってしまったら、かなり不安になる。高校数学で出てくる数字はなんとなくだが、よく出てくるものがある。自分が見たことのない数字と出くわしたら、計算ミスをしているのではないかと疑って良い。)

・忍耐強く一行ずつ展開していく。

(生徒のミス回答でよくみかけるのが、同時に複数の箇所を計算したがために、マイナスがプラスになってしまっていたりすることが多い。生徒の計算能力に依存するところだが、自信がないならば二段飛ばしは控えたほうがよい。)

・足し算や引き算は最後に回して、掛け算・割り算をまず行う。

(一般に掛け算、割り算のほうが簡単である。高校一年生で習う因数分解の考え方を、一般の数値計算に応用していない生徒が見受けられるが非常にもったいない。共通因子をくくりだして・・・、つまり掛け算の形に変形したほうが計算は楽になる)

・「式変形の流れ」と「数値計算」をごちゃごちゃに書かない。

(式変形と数値計算は切っても切れない関係だが、両者が重なってしまうと非常に見にくい答案になってしまう。その答案に書いていることを自分が見誤ってしまえば、その後の展開は全て×になってしまうことを考えれば、数値計算はなるべく「式変形の流れ」から離れた場所に書くとよい)

・方程式の場合は求められた解を、最初に与えられた式に代入する。

(解をもとめて安心するのではなく、元の与えられた式に代入して両辺が成立することを確認するべきだ。このちょっとした習慣で自分は現役時代かなりの計算ミスを発見することができた)

上記がいま自分の指導している計算ミスを減らすための方策である。(ただ、いまだにピンとはきていない・・・)

他にもよいアイディアがあれば、どうかご教授いただきたい。

(written by awanotanuki)

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

数学の研究室はじめました
最初に当研究室の設立目的を掲げておきます。

~すべては生徒のために~

具体的には・・・

1.生徒の「なんで?」に対して最適な回答を探求すること。
2.生徒に「すげぇ!」と思わせる指導法を研究すること。
3.生徒に「そういう風に考えるんだぁ」と体感してもらえるよう、我々講師が数学の問題を解くときにどう考えているかを伝えること。


設立目的を果たすために、定期的に数学に関係する題材をピックアップして記事を投稿していきます。

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Author:awanotanuki
大学受験予備校で高校数学を教えている非常勤講師です。

「いま自分は独りよがりの解説を生徒に押し付けていないか?もっと良い解説方法がないのか?」

という素朴な思いから、ブログを立ち上げました。皆様どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

 
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