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数学講師の数学研究室
現役数学講師による「生徒を感動させて、数学好きにさせる」ような数学指導方法を研究するブログです。
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センター試験を乗り切ろう
さて、二学期も始まりそろそろセンターというのも
気になりだしたらしく、「上手く点が取れません。
どーやったら高得点とれますか?」とか
「時間が足りないです」とか聞かれることが
ちらほら出始めるんですが、どーしたものか?

まぁ、空欄埋める形なので、解答欄の形をヒントの
ひとつにして議論をすっ飛ばすとか出来ることも
ありますが、数学科出身なせいかあまり気乗りが
しないです(´・ω・`)
とは言っても時間との勝負でもあるからやるべきなんでしょうね。

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場合の数を数える
「数える」ことの基本は樹形図を用いたり
規則的に排反な場合わけを用いたりして
もれなく重複なく数え上げていくことです。
これは大事なことですが、全体の数が多くなると
毎回全部書き上げるわけにはいきません。
そこで、「規則性をつかんで計算にて処理する」
というステップが必要不可欠になります。

このとき、n通りの選択肢について、どれにたいしても
(その各々に対して、と表現する)次の選択肢がk通り
あるなら全体でn×k通りになるという積による計算と、
全体の場合をいくつかに(出来れば排反に)わけて
あとから足し上げる和の計算の区別がつけられない生徒が
ちょこちょこ見受けられます。
また、それ以前に、すべて書き上げるなら出来るが、計算には
なかなか確信をもって持ち込めないという生徒もいます。
どーしたものでしょう??
置換積分したとき
先日次のような間違いをしている生徒がいました。
 「t:-3→3の積分で√(16+t^2)=x
  と置換するとx:5→5。よって積分値=0」
自分も現役当時同じことをやった記憶がありますわぁ~。
しかしこれはいかんですね。何がまずいんでしょうか??
この極限はど~なるの??
極限はそれ自体も問題になりますし、またグラフを
描く際にも調べる必要が生じます。実数解の個数を
グラフの交点から求める場合などには極限値を
間違うと個数が違ってくるので、きちんと判断しないと
いけません。
0×∞、∞÷∞、0÷0と言ったいわゆる不定形は
式変形により極限が判断できる形にすることになりますが、
今回はそれらではなく、極限をとったときに
 (0でない定数)÷0
の形になるものについて考えてみます。

まずは分子の極限がa>0のときを考えます。
基本的には反比例:y=a/xのグラフを書いてもらうと
見えてくるのですが、x=0の付近ではy座標は無限に
大きくなっていきます。実際にxの値を
x=1/10、1/100、1/1000、・・・
としていくとyの値は
y=10a、100a、1000a、・・・
となって無限に大きくなるのがわかると思います。
ところが、このことから極限がa÷0の形に
なるものは+∞だとするのは早計です。
というのは、グラフのx<0の側を見ると、y座標は
無限に小さくなっていっているからです。「小さくなる」
というと0に近づくというイメージがあるかも知れませんが
そうではなく、「-∞に近づく」という意味です。
よって、実はxを0に近づけたときのa/xの
極限というのは
 「+と-のどちらからxを0に近づけるかに依存する」
ことになります。
従って、
「極限を考えたときの形がa÷0である」
というだけでは
「極限は+∞か-∞のどちらかだ」
ということまでしかわからず、あとは近づけ方でどちらかが
決定されるということになります。
これは分子の極限が-a<0のときにも同じであることが
y=-a/xのグラフを書けばわかります。

ちなみに、以上のことから「分数形の極限において分母が
0に近づく」と、「その数自体は+∞または-∞に
近づこうとする」とすること、すなわち「数直線上でその数は
原点から遠ざかろうとする」ことがわかると思います。
一方、「分子が0に近づく」と、「その数自体は0すなわち
原点に近づこうとする」ことがわかります。
これは相反する動きですので、0÷0という不定形はこの動きの
力の大小、つりあい具合(収束の速さと表現される)によって
様々な極限値になりえます。
                   文責まこっち

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

あれ、なにするんだっけ??
問題を解くにあたって、「何をしたいのか」という
目的をきちんと把握しておくことは大切です。
証明であれば証明したいことがら、値を求めるなら
何の値なのか。
目的には最終目標といくつかの段階に分けた中間目標とがあり、
各段階ではそれに集中し、ほかは考えない。
たとえば、三角不等式を解くときには最終的には
角度を求めたいのではあるが、多くの場合
①まずはsinやcosの値の範囲
②次に角度の範囲(最終目標)
のようにやることになる。①はsin等をtとでもおけば
関数の不等式の問題(多くは一次・二次不等式)であり
②は単位円を用いる三角比の問題である。
いきなり角度を求めようとして混乱してる人を度々みかけます。
各段階では、その段階の目標に集中しましょう。
数学では問題の言い換えを行って解くことがよくありますが、
その場合も混乱し易いので、言い換えたらしばらくは元の
問題は忘れましょう。
                        文責まこっち

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Author:awanotanuki
大学受験予備校で高校数学を教えている非常勤講師です。

「いま自分は独りよがりの解説を生徒に押し付けていないか?もっと良い解説方法がないのか?」

という素朴な思いから、ブログを立ち上げました。皆様どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

 
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